गणितीय सूत्रे भाग - II

गणितीय सूत्रे भाग - II

         A) वर्तुळ –                                                     (सूचना-  “ ^ म्हणजे घात” )

  1)  त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.

  2)  वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघा वरील दोन बिंदुना  जोडणाऱ्या  रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.

           वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येच्या (R च्या)            दुप्पट असतो.

  3)  जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.

         व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.

  a)   वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/22 पट असतो.

  b)  वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो.

  c)   वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D

   d)  अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) ×      36/7

   e)   अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36

  f)    वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)^2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)

  g)   वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22  

  h)  वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30

  i)    अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r^2

  j)     अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36

  k)  दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर.

  दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या   गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.

           B) घनफळ –

  a)   इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)

  b)  काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची

  c)   गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r^3 (r=त्रिज्या)

  d)  गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r^2    

  e)   घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)^3

  f)    घनचितीची बाजू = ∛घनफळ

  घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट   होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.

  ***घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)^2

  a)   वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r^2×h

  b)  वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r^2 = घनफळ×7/22×r^2

  c)   वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r^2 = √घनफळ×(7/22)/h

         C)  इतर भौमितिक सूत्रे –

  a)   समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची

  b)  समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = (½)×कर्णाचा गुणाकार

  c)   सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)^2

  d)  वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा (θ/360)×πr^2

  e)   वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = (θ/180)×πr

  f)    घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)^2

  g)   दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh

  h)  अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr^2

  i)    अर्धगोलाचे घनफळ =( 2/3)πr^3

  j)     त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )

  k)  शंकूचे घनफळ = 1/3 πr^3h 

  l)     समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2

  m)                   दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)

  n)  अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr^2

  o)  (S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती) 

  p)  वक्रपृष्ठ = πrl

  q)  शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr^2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी

         D)बहुभुजाकृती –

n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.

**सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.

**बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4 काटकोन असते.

**n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते.

**सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप

**बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2

**उदा. सुसम षटकोनाचे एकूण कर्ण = 6(6-3)/2 = 6×3/2 = 9

    **तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर –

1 तास = 60 मिनिटे    

0.1 तास = 6 मिनिटे  

0.01 तास = 0.6 मिनिटे

1 तास = 3600 सेकंद    

0.01 तास = 36 सेकंद  

1 मिनिट = 60 सेकंद    

0.1 मिनिट = 6 सेकंद

1 दिवस = 24 तास

              = 24 × 60

              =1440 मिनिटे 

              = 1440 × 60

              = 86400 सेकंद

**घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर –

*घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते.

*दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो.

*दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15 मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो.

*तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिटकाट्यास 10 भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात.

 **दशमान परिमाणे –

विविध परिमाणांत एकमेकांचे रूपांतर करताना खालील तक्ता लक्षात ठेवा.

100 कि.ग्रॅ. = 1 क्विंटल

10 क्विंटल = 1 टन 

1 टन = 1000 कि.ग्रॅ.

1000 घनसेंमी = 1 लिटर

1 क्युसेक=1000घन लि.  

12 वस्तू = 1 डझन 

12 डझन = 1 ग्रोस    

24 कागद = 1 दस्ता

20 दस्ते = 1 रीम  

1 रीम = 480 कागद.

विविध परिमाणे व त्यांचा परस्पर संबंध –

     1) अंतर –

1 इंच = 25.4 मि.मि. = 2.54 से.मी.

1 से.मी. = 0.394 इंच

1 फुट = 30.5 सेमी. 

1 मी = 3.25 फुट

1 यार्ड = 0.194 मी.      

1 मी = 1.09 यार्ड

     2) क्षेत्रफळ –   

1 स्व्के. इंच = 6.45 स्क्वे. सेमी

1 स्क्वे. सेमी 2 = 0.155 स्क्वे. इंच

1 एकर = 0.405 हेक्टर

1 हेक्टर = 2.47 एकर = 100 आर/गुंठे

1 स्क्वे. मैल = 2.59 स्क्वे. कि.मी.

1 एकर फुट = 1230 मी. 3 = 1.23 मैल

1 स्क्वे. कि.मी. = 0.386 स्क्वे.मैल

1 गॅलन = 4.55 लिटर

     3) शक्ती –   

1 एच.पी. = 0.746 किलो वॅट

1 किलो वॅट = 1.34 एच.पी.

    4) घनफळ –  

 1 घन इंच = 16.4 घन सेमी.

1 घन सेमी  = 0.610 घन इंच

क्युबिक फुट (1 फुट) 3 = 0.283 घन मी.

1 घन मी = 35 घन फुट

1 घन यार्ड  = 0.765 घन मी.

   5) वजन –   

1 ग्रॅम = 0.0353 औंस (Oz) 0

1 पौंड (lb) = 454 ग्रॅम

1 कि.ग्रॅ. = 2.0 पौंड (lb)

    6)वय व संख्या –

दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक) ÷ 2

लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2

वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो.

   7)दिनदर्शिका –

एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस

महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात.

टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात.

   8)नाणी –

एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज

एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1

   9)पदावली –

पदावली सोडविताना कंस, चे, भागाकार, गुणाकार, बेरीज, वजाबाकी (÷, ×, +, -)

किंवा BODMAS हा क्रम ठेवावा.